آنالیز موجک

تاریخچه

(آنالیز موجک) ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بین سال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابع(f(x به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعه ایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یک تابع (f(x را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل (sin(ax و (cos(ax نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع و در نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند.
با گذشت زمان ضعف پایه های فوریه نمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در مورد سیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند، بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود در تصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورد استفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ با استفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)
در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله متوجه شد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع در آزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک ها گردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد را کشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک و تبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمن فیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال ۱۹۷۶ میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند و مالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.

 آشنایی

آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتا جدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است، امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیز موجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجک ها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان با استفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدست آورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی که در پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درون ریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) را در طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل فیلترهای آیینه ای متعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.

 کاربردها

آنالیز موجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند، صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکار رفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که در تلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفاده شده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حد زیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب، ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی و سادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیار کارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانی پیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) و سی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکار خوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی (F MRI) اشاره کرد.

منبع

موجک

موجک (Wavelet) دسته‌ای از توابع ریاضی هستند که برای تجز‌یه سیگنال پیوسته به مؤلفه‌های فرکانسی آن بکار می‌رود که رزولوشن هر مؤلفه برابر با مقیاس آن است. تبدیل موجک تجزیه یک تابع بر مبنای توابع موجک می‌باشد. موجک‌ها (که به عنوان موجک‌های دختر شناخته می‌شوند) نمونه‌های انتقال یافته و مقیاس شده یک تابع (موجک مادر) با طول متناهی و نوسانی شدیداً میرا هستند. چند نمونه موجک مادر در شکل زیر نمایش داده شده‌اند.

مِیِر

مورله

کلاه مکزیکی

تبدیل‌های موجک

تعداد زیادی تبدیل موجک وجود دارد که لیست آن را می‌شود در فهرست تبدیل‌های مرتبط با موجک مشاهده نمود. معمول‌ترین این تبدیل‌ها عبارتند از:

  • تبدیل موجک پیوسته (Continuous wavelet transform (CWT
  • تبدیل موجک گسسته (Discrete wavelet transform (DWT
  • تبدیل سریع موجک (Fast wavelet transform (FWT
  • Lifting scheme
  • تجزیه بسته‌های موجک(Wavelet packet decomposition (WPD
  • تبدیل موجک ساکن (Stationary wavelet transform (SWT

موجک‌ها و معادلات اتساع
موجک‌ها بر مبنای دو عمل اصلی قرار دارند:

  • انتقال (Translation)

[عکس: 34b5ae95f23a0378679d434d7cea3360.png]

  • اتساع (Dilation)

[عکس: a9be4f8956d1bb85c9e932c584196743.png]

مقایسه با تبدیل فوریه

در مقایسه با تبدیل فوریه می‌توان گفت که تبدیل موجک دارای خصوصیت محلی‌سازی بسیار خوبی است. بطور مثال تبدیل فوریه یک پیک تیز دارای تعداد زیادی ضریب است، چرا که توابع پایه تبدیل فوریه توابع سینوسی و کسینوسی هستند که دامنه آنها در کل بازه ثابت است، در حالی که توابع موجک توابعی هستند که بیشتر انرژی آنها در بازه کوچکی متمرکز شده‌است و به سرعت میرا می‌شوند. بنابراین با انتخاب مناسب موجک های مادر می توان فشرده سازی بهتری در مقایسه با تبدیل فوریه انجام داد.

تاریخچه

در تاریخ ریاضیات مبادی و ریشه‌های متعددی را می‌توان برای موجک‌ها سراغ گرفت.

کارهای قبل از ۱۹۳۰
مربوط به قبل از ۱۹۳۰ (م) می‌توان به آنالیز فرکانس‌ها اشاره کرد، که به وسیلهٔ فوریه شروع شد.
استفاده از واژهٔ موجک‌ها، برای اولین بار، در یکی از ضمیمه‌های تز آلفرد هار (۱۹۰۹ م) ظاهر شد. امروزه هم، این موجک‌ها به همان نام یعنی به موجک‌های هار معروف اند. موجک‌های هار دارای دامنهٔ تعریف فشرده (compact) بوده، و غیر مشتق‌پذیر به صورت پیوسته هستند.

کارهای مربوط به دهه ۱۹۳۰
در این دهه چند گروه پیرامون موضوع نمایش توابع با به کارگیری پایه‌های با مقیاس متغیر برای تنیدن فضاهای توابع تحقیق می‌نمودند.

موجک‌های متعامد

با دیدی کلی می‌توان اظهار داشت که پایه‌های متعامد حالتی بهینه برای تنیدن فضاهای برداری (چه فضاهای با ابعاد متناهی و چه فضاهای بی نهایت بعدی) و انجام محاسبات ارائه می‌نمایند. لذا همواره تمایل و تلاش در این راستا قرار داشته که یا مجموعه پایه‌ها از آغاز متعامد انتخاب شود و یا آن که با شیوه‌هایی نظیر گرام اشمیت آنها را به سوی تعامد سوق داد.

موجک هار

موجک هار اولین موجک شناخته شده می‌باشد که پیدایش آن به سالهای ابتدای قرن بیستم باز می‌گردد. این موجک ساده‌ترین نوع هم هست و پایه‌هایی متعامد برای تنیدن فضای محاسبه را ارائه می‌دهد.

منبع

/1 دیدگاه/توسط
1 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

تمایل دارید در گفتگوها شرکت کنید؟
در گفتگو ها شرکت کنید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

2 × 4 =